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      最大子矩形

      极大子矩阵

      一个\(n*m\)的矩阵中有\(s\)个位置是障碍,问最大的不包含障碍的矩形面积
      最大子矩形问题-王知坤 (对于这篇论文.....吐槽无力

      虽然实现..至少它的思路很对嘛

      枚举所有的极大子矩形找出最大子矩形(s^2)

      悲惨经历:找到一份题解,学学学学学学学。WA了。改改改改改改改...WA了(此处循环1w次,然后气愤的测题解,WA了........
      每个极大子矩形的每一条边外侧一定有至少一个障碍或与边界重合,不然将边向外移即可获得更大子矩形,不满足极大。因此只需要按\(y\)排好序后依次枚举每个障碍作为左端点,然后向右找每一个点作为右端点,向上向下找出此时的上边界和下边界即找到了一个极大子矩形。
      考虑实现找上下边界的方法

      1.先把边界设为上下界,找到第一个点设为右边界
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      2.比较这个点,若在原点和上界间的话将其设为上界,在原点和下界间的话设为下界,与原点同行的话break即可
      3.再看下一个点,反复即可
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      #include<iostream>
      #include<stdio.h>
      #include<cmath>
      #include<algorithm>
      using namespace std;
      
      int i,m,n,j,k,ans,b[5001][5001];
      char c;
      struct vv
      {
         int x,y;
      } a[1000001];
      
      bool cmp1(vv a,vv b) {return a.x<b.x;}
      bool cmp2(vv a,vv b) {return a.y<b.y;}
      bool cmp3(vv a,vv b) {return a.y>b.y;}
      
      void dfs()
      {
         for(int i=1;i<k;i++)
         {
             int maxx=n, minn=1;
             for(int j=i+1;j<=k;j++)
             {
                 if(a[j].y==a[i].y) continue; 
                 ans=max(ans,(abs(a[j].y-a[i].y)-1)*(maxx-minn+1));
                 if((a[j].x<=a[i].x)&&(a[j].x+1>minn)) minn=a[j].x+1;
                 if((a[j].x>=a[i].x)&&(a[j].x-1<maxx)) maxx=a[j].x-1;
                 if(-minn+maxx+1<=0) break;
             }
         }
      }
      
      int main()
      {
         scanf("%d%d%d",&n,&m);
         for(i=1;i<=n;i++)
             for(j=1;j<=m;j++)
             {
                 scanf("%d",&j);
                 if(j) a[++k].x=i,a[k].y=j;
             }
      
         a[++k].x=0; a[k].y=0;  a[++k].x=0; a[k].y=m+1;
         a[++k].x=n+1; a[k].y=0;  a[++k].x=n+1; a[k].y=m+1;
         sort(a+1,a+1+k,cmp1);
         for(i=2;i<=k;i++) ans=max(ans,(a[i].x-a[i-1].x-1)*m);
         sort(a+1,a+1+k,cmp2);  dfs();
         sort(a+1,a+1+k,cmp3);  dfs();
         printf("%d",ans);
      }

      由于有时障碍可能非常密集,这个方法就会被卡掉

      悬线\(O(nm)\)

      由于极大子矩阵的上边界上方一定有一个障碍,所以找出每一个点上方的最近障碍点即构成一条悬线
      然后把这条悬线左右移动直到遇到障碍及构成了一个极大子矩形。
      枚举每一个点,只要能够\(O(1)\)的间找到其为下端对应悬线和向左右能够移动距离即可在\(O(nm)\)的时间中找到答案。
      考虑预处理方法
      1. 悬线长度\(h[i][j]\) 如果\(i,j\)上方的点是障碍, \(h[i][j]=1\),否则\(h[i][j]=h[i-1][j]\)
      2. 左右移动距离,向左移动最大距离\(l[i][j]=max(\)当前行左边最近障碍坐标\(+1,l[i-1][j])\),右移道理相通
      3. 特殊情况:\(i,j\)上方的点是障碍时\(l[i][j]=\)当前行左边最近障碍坐标\(+1\)
      最后\(ans=max(ans,h[i][j]*(r[i][j]-l[i][j]+1))\)

      #include<iostream>
      #include<cstdio>
      #include<cstring>
      using namespace std;
      
      int i,m,n,j,k,a[5001][5001],b[5001][5001],l[5001][5001],r[5001][5001],g,h,ans,las;
      char c;
      int main()
      {
          scanf("%d%d%d",&n,&m);
          for(i=1;i<=n;i++)
              for(j=1;j<=m;j++)
                  scanf("%d",a[i][j]);
      
          for(i=1;i<=n;i++)
              for(j=1;j<=m;j++)
                  if(!a[i][j]) b[i][j]=b[i-1][j]+1;
                      if(a[i-1][j]) b[i][j]=1;
      
          for(i=1;i<=n;i++)
          {
              las=1;
              for(j=1;j<=m;j++)
              {
                  if(a[i-1][j]) l[i][j]=las;
                  else l[i][j]=max(l[i-1][j],las);    
                  if(a[i][j]) las=j+1;    
              }
          }
      
          for(i=1;i<=m;i++) r[0][i]=m;
          for(i=1;i<=n;i++)
          {
              las=m;
              for(j=m;j>=1;j--)
              {
                  if(a[i-1][j]) r[i][j]=las;
                  else r[i][j]=min(r[i-1][j],las);
                  if(a[i][j]) las=j-1;
              }
          }
                  
          for(i=1;i<=n;i++)
              for(j=1;j<=m;j++)
                  if(!a[i][j]) ans=max(ans,3*(b[i][j])*(r[i][j]-l[i][j]+1));
          printf("%d",ans);
      }
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